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\begin{document}
\courseheader
\begin{center}
  \underline{LMS和RLS仿真实验报告} \\
\end{center}
\begin{flushleft}
  赵丰\quad \studentID\hfill
  \today
\end{flushleft}
\hrule

\vspace{2em}

\flushleft
\rule{\textwidth}{1pt}
\begin{itemize}
\item {\bf Acknowledgments: \/} 
  This coursework refers to textbook.  
\item {\bf Collaborators: \/}
  \begin{itemize}
  \item (1) was solved with the help from my roommate 周豪宇
  \end{itemize}
\end{itemize}
\rule{\textwidth}{1pt}

\vspace{2em}

%\title{EM算法上机作业}
%\author{赵丰，2017310711}
%\maketitle
\begin{enumerate}[label={(\arabic*)}]
\item LMS算法实现自适应均衡器，matlab代码如下所示
\lstinputlisting[language=matlab]{lms_system.m}
针对三组不同的白噪声方差值$\sigma^2$,取LMS的迭代步长$\mu=0.05$，作出一次实验误差平方随数字时间的变化如下图所示：

\begin{figure}[!ht]
\centering
\includegraphics[width=10cm]{lml_one_time.eps}
\caption{}\label{fig:1}
\end{figure}

由图\ref{fig:1}可以看到，对于给定的迭代步长,噪声越大，单次实验误差的平方相对抖动，但噪声在一定范围内误差平方有减小的趋势。

针对给定的白噪声方差值$\sigma^2=0.05^2$,取三组不同的LMS的迭代步长$\mu$，作出20次实验误差平方的平均值（可作为$E(e(n))$的估计）
随数字时间的变化如下图所示：

\begin{figure}[!ht]
\centering
\includegraphics[width=10cm]{lml_many_times.eps}
\caption{}\label{fig:2}
\end{figure}

由图\ref{fig:1}可以看到，对于给定的白噪声方差值,$\mu$越小收敛速度越慢，但收敛的稳定性越好。
$\mu$较大时收敛速度虽快，但由于$e(n)$方差较大，20次平均不足以反映$E(e(n))$，所以抖动较为明显。

对于步长为0.05的情形，自适应均衡器的各阶系数如下表如示:
\begin{table}[!ht]
\centering
\caption{自适应均衡器滤波器系数}
\begin{adjustbox}{max width=\textwidth}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
序号 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10 & 11\\
\hline
20次平均 &
\input{coefficent_out.tex}
\\
\hline
\end{tabular}
\end{adjustbox}
\end{table}
将上表的序列与$[0.3,0.9,0.3]$作卷积，得到长为13的序列，只有倒数第8位接近1，其余位接近0。这说明在信噪比较大的情况下
采用11阶LMS滤波可以较好的恢复原信号。

本题如采用Wiener滤波，由于11阶的FIR可以形成对3阶FIR逆系统的好的近似，
所以$J_{\min}$接近0，对于实际情形，由于500组观测数据（较多），可以通过统计的方法形成对自相关和互相关的好的近似，因此
使用LMS算法也能使$e(n)$误差接近0。


\item RLS算法实现自适应均衡器，matlab代码如下所示
\lstinputlisting[language=matlab]{rls_system.m}
针对$\mu=0.01,\sigma=0.05$的情况，分别作出LMS和RLS算法20次实验误差平方的平均值随数字时间的变化如下图所示：

\begin{figure}[!ht]
\centering
\includegraphics[width=10cm]{compare.eps}
\caption{}\label{fig:3}
\end{figure}

由图\ref{fig:3}可以看到，RLS算法收敛速度远快于LMS算法。

本次仿真使用的均衡器系统的初始化代码和绘图代码如下：
\lstinputlisting[language=matlab]{launcher.m}

\end{enumerate}
\end{document}

